Alat-alat ukur kapan digunakan nya tanda × dan kapan digunakan tanda (.) Dalam perkalian

Penggunaan tanda kali (×)
Tanda kali atau × digunakan untuk melambangkan perkalian dua bilangan. Lambang × diperkenalkan oleh William Oughtred pada tahun 1631. Seringkali tanda kali ditulis dengan huruf x karena kemiripan bentuknya, meskipun dalam tipografi, penulisan tersebut tidak benar. Dalam HTML, × dapat ditulis sebagai × atau ×, dalam TeX

Vektor bukan bilangan biasa, sehingga perkalian biasa tidak bisa langsung digunkan pada vektor, Kita harus menggunakan perkalian vektor. Perkalian vektor terdiri dari 2 jenis yaitu perkalian titik dan perkalian silang perkalian titik disebut juga perkalian skalar karena menghasilkan besaran skalar. Perkalian silang disebut juga perkalian vektor karena perkalian tersebut menghasilkan besaran vektor.

Misalkan terdapat dua vektor yakni A dan B. perkalian skalar dari vektor A dan B dinyatakan dengan A.B ( karena digunakan notasi titik maka perkalian ini dinamakan perkalian titik ). Perkalian vektor dari A dan B dinyatakan dengan a x B. karena diguakan notasi x, maka perkalian ini disebut perkalian silang.

PERKALIAN TITIK

Misalnya diketahui vektor A dan B sebagaima tampak pada gambar dibawah ini. Perkalian tiik antara vektor A dan B dituliskan sebagai A.B ( A titik B )

Untuk mendefinisikan perkalian titik dari vektor A dan B ( A.B ) digambarkan vektor A dan vektor B yang membentuk sudut teta ( sambil lihat gambar di bawah ). Selanjutnya kita gambarkan proyeksi dari vektor B terhadap arah vektor A. Proyeksi ini adalah komponen dari vektor B yang sejajar dengan vektor A, yang besarnya sama dengan B cos teta.

Dengan demikian, kita definisikan A.B sebagai besar vektor A yang dikalikan dengan komponen Vektor yang sejajar dengan A. Secara matematid dapat kita tulis sebagai berikut :

A.B = AB

AB cos teta merupakan bilangan biasa (skalar). Karenanya perkalian titik disebut juga perkalian skalar. Bagaiaman jika perkalian titik vektor A dan B dibalik menjadi B.A ? sebelum kita definisikan B.A terlebih dahulu kita gamabrkan proyeksi dari vektor A terhadap vektor B

Berdasarkan gambar ini, kita dapat mendefinisikan B.A sebagai besar vektor B yang dikalikan dengan komponen vektor A yang sejajar dengan B. Secara matematis dapat kita tulis sebagai berikut.

B.A = B.A

Hasil perkalian titik A.B=AB cos teta dan hasil perkalian titik B.A=BA cos teta. Karena AB cos teta = BA cos teta, maka berlaku A.B=B.

Tanda titik digunakan sebagai representasi desimaldi Eropa, Amerika Serikat, Britania Raya, dan negara lain yang menuturkan bahasa Inggris. Dalam bahasa Indonesia, representasi desimal dilambangkan dengan koma.

Perkalian titik (dot product) dari dua vektor a dan bdinotasikan dengan a ‧ b.

Perkalian titik disini tidak sama dengan perkalian aljabar seperti yang sudah kita kenal, karena yang dilibatkan disini adalah vektor, bukan bilangan.

Diberikan dua buah vektor,
a = [a₁ , a₂ , a₃]
b = [b₁ , b₂ , b₃]
dengan θ adalah sudut antara a dan b, seperti yang terlihat pada gambar.

Dengan bantuan aturan cosinus, kita peroleh
|b - a|² = |a|² + |b|² - 2|a| |b| cos θ
|a| |b| cos θ = $\frac{1}{2}$( |a|² + |b|² - |b - a|² )     (*)

Substitusikan
|a|² = a₁² + a₂² + a₃² ,
|b|² = b₁² + b₂² + b₃² ,
|b - a|² = (b₁ - a₁)² + (b₂ - a₂)² + (b₃ - a₃)²,
pada ruas kanan persamaan (*), lalu sederhanakan hingga diperoleh

|a| |b| cos θ = a₁ b₁ + a₂ b₂ + a₃ b₃    (**)

Persamaan terakhir ini cukup menarik, karena mampu menjelaskan hubungan antara panjang, sudut, dan komponen-komponen suatu vektor secara bersamaan.

Persamaan yang didominasi oleh operasi perkalian inilah yang kemudian menjadi ide dalam pendefinisian perkalian titik dua vektor.


 Definisi 
Misalkan a dan b adalah vektor-vektor bukan nol. Perkalian titik atau dot product dari a dan b, ditulis a‧ b, didefinisikan

a ‧ b = |a| |b| cos θ

dimana
|a| = panjang a
|b| = panjang b
θ = sudut antara a dan b


Dengan demikian, persamaan (**) dapat ditulis menjadi

a ‧ b = a₁ b₁ + a₂ b₂ + a₃ b₃

Perkalian titik dari dua vektor akan menghasilkan skalar. Oleh sebab itu, perkalian titik sering disebut dengan perkalian skalar (skalar product).

Contoh

Dua buah vektor u dan v membentuk sudut sebesar 60°. Jika |u| = 4 dan |v| = 7, maka u ‧ v = ...
Jawab

u ‧ v = |u| |v| cos 60°
u ‧ v = 4 ‧ 7 ‧ $\frac{1}{2}$u ‧
        v = 14


Referensi
https://id.m.wikipedia.org/wiki/Tanda_kali

https://id.m.wikipedia.org/wiki/Tanda_titik

https://smatika.blogspot.com/2018/09/perkalian-titik-dot-product.html?m=1

http://mohamad-juliantoro.blogspot.com/2011/10/v-behaviorurldefaultvml-o.html?m=1